Le 7 mai 2016, le monde du football était en émoi : Leicester City se couronnait championne de la « Premier League » pour la première fois, deux ans seulement après avoir rejoint l’élite anglaise. Petite équipe au budget limité, sans grandes stars parmi ses joueurs, elle devançait les clubs de Manchester, Chelsea et autres Arsenal. Preuve qu’au foot, David peut encore battre Goliath. Talent fou ? Méforme des grosses cylindrées ? Coups de chance à répétition ? Une chose est sûre : le hasard fait aussi partie du football. Et qui dit hasard, dit mathématiques.
 
Une équipe de chercheurs a décidé d’étudier les probabilités qui se cachent derrière les championnats de football et autres compétitions sportives. L’un de leurs buts : établir les équations qui expliquent pourquoi, de temps en temps, des équipes modestes parviennent à damer le pion aux grosses cylindrées. « Cela fait longtemps que je voulais travailler ce sujet, confie Raphaël Chétrite, chercheur à l’université de la Côte-d’Azur1 et passionné du ballon rond. J’ai réussi à convaincre mes collègues que le football offre des mathématiques intéressantes et pas du tout évidentes. » Leurs premiers théorèmes sur la question viennent de paraître dans la revue Annals of Applied Probability2.
 
Mais pourquoi s’intéresser particulièrement au football plutôt qu’au handball ou au water-polo ? « Le football est l’archétype du sport "aléatoire" du fait des scores très faibles. Une petite équipe peut marquer un but "par chance", puis se replier autour de sa surface jusqu’à la 90^e minute. Au hand-ball, où les scores sont plus larges, il est beaucoup plus difficile pour le petit de battre le fort », explique Raphaël Chetrite. Les statistiques lui donnent raison. Une étude menée sur 100 ans de ligue anglaise a montré que l’équipe favorite selon les bookmakers ne remportait le match que dans 45 % des cas.

Championne d'Angleterre 2016, l'équipe de Leicester est une illustration de ce que les chercheurs ont baptisé le théorème de Cendrillon qui prévoit dans certains cas la victoire potentielle d'équipes présumées moins fortes que les favoris.

Championne d'Angleterre 2016, l'équipe de Leicester est une illustration de ce que les chercheurs ont baptisé le théorème de Cendrillon qui prévoit dans certains cas la victoire potentielle d'équipes présumées moins fortes que les favoris.

PAUL GREENWOOD / BACKPAGE IMAGES Ltd / DPP/AFP PHOTO

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Mais les mathématiciens ont voulu aller plus loin. Ils se sont demandé si, à l’échelle d’un long championnat, le côté aléatoire d’un match n’était pas gommé. « Est-ce que dame "Loi des grands nombres" ne viendrait pas à anéantir le hasard pour engendrer un championnat prévisible où le meilleur est toujours champion ? » s’interrogeaient-ils.
 
Pour aborder la question, les chercheurs ont imaginé une compétition qui ne peut exister qu’en mathématiques : un championnat dont le nombre de matchs tend vers l’infini. Dans leur modèle, la force de chaque équipe, fixée en début de saison, est aléatoire, mais appartient à la même « distribution » : autrement dit, une même fonction mathématique décrit comment se répartit la force de ces équipes. Chaque match a une issue aléatoire dont la probabilité est fixée par la force des deux adversaires : c’est le modèle de Bradley-Terry. En jouant sur la distribution des forces des équipes, ils ont cherché à retrouver des situations que l’on peut rencontrer dans les championnats de football, allant du cas où les forces des clubs semblent équilibrées, à celui où une équipe est ultra-dominatrice. C’est ainsi qu’ils ont démontré trois théorèmes.
 
Dans le premier théorème, ils ont identifié un large groupe de distributions qui implique un championnat au déroulement « typique » : l’équipe la plus forte gagne toujours à la fin. Mais en sortant de cette classe et en choisissant un groupe de distributions différentes, les chercheurs ont pu faire surgir des surprises. Les équipes plus faibles ont alors des chances de surpasser les fortes. Les chercheurs ont appelé ceci le « Cinderella theorem ». Dans l’histoire du football, les exemples d’équipes « Cendrillon », ou « Petit Poucet », comme la vaillante Leicester, ne manquent pas. Désormais, un théorème les soutient.

Les chercheurs se sont aussi intéressés à ces équipes dominatrices dont la puissance est telle qu’elle échappe à la courbe de distribution des forces. Une situation analogue, en quelque sorte, à celle du PSG en Ligue 1 : une équipe au budget huit fois supérieur à la moyenne de ses concurrents, capable de mettre 31 points d’écart avec son dauphin en fin du dernier championnat. Les mathématiciens se sont demandé dans quels cas l’équipe dominatrice gagnait quoi qu’il arrive. Ils ont ainsi découvert un effet contre-intuitif : une telle équipe aura plus de mal à remporter un championnat dans lequel la plupart des équipes sont faibles, qu’un championnat doté de plusieurs équipes fortes. C’est ce que Raphaël Chétrite appelle « le piège des petites équipes ». L’explication de ce paradoxe est celle-ci : dans un championnat composé majoritairement d’équipes faibles, un outsider au-dessus du lot peut rafler beaucoup de points contre ces petites équipes et accrocher l’équipe dominatrice au classement. Dans un championnat fort, les bonnes équipes, plus nombreuses, s’arrachent des points les unes les autres, ce qui favorise l’équipe dominatrice.

Un employé de "Parions sport", la plateforme de paris sportifs de la Française des Jeux (FDJ), durant l'Euro 2016.

Un employé de "Parions sport", la plateforme de paris sportifs de la Française des Jeux (FDJ), durant l'Euro 2016.

PATRICK KOVARIK / AFP

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Pour les chercheurs, à terme, les compagnies de paris pourraient utiliser ce genre de méthodes pour fixer les cotes des matchs. « Alors que les méthodes traditionnelles demandent l’observation de tout le championnat, on peut espérer avec notre approche faire des prédictions au bout de deux ou trois journées », affirme Mathieu Lerasle, chercheur au laboratoire d’Orsay3.
 
Raphaël Chetrite ne veut pas s’arrêter là. «Il reste beaucoup de travaux à faire là-dessus. Ce sont des maths qui ont un impact, car le foot intéresse des milliards de personnes ». De grandes décisions prises par les instances comme l’UEFA ou la FIFA ne sont pas analysées du point de vue des probabilités. Ainsi, des questions comme l’impact du fair-play financier sur la force des équipes, ou celle d’une coupe du monde à 48 pays pourraient faire surgir d’intéressants problèmes théoriques. Avis, donc, à tous les matheux footeux !